Как поймать дрон на слух: задача с пятью неизвестными

Это моё продолжение темы звуковой локации воздушных целей. В своей предыдущей статье (Некоторые задачи акустической локации дронов: почему звук — не радио) я неосмотрительно пообещал в дальнейшем проанализировать возможности применения корреляционного разностно-дальномерного метода локации. Однако вскоре убедился, что для работающего двигателя дрона этот метод работать не будет из-за регулярной структуры звука.

Вместо этого предлагаю вашему вниманию другую статью с анализом пассивной звуковой локации. Задача выглядит нетривиальной. Я наметил путь её решения.

Введение

Дроны-беспилотники за последнее десятилетие стали массовым оружием, которое на наших глазах совершает революцию в военном деле. Они отличаются малыми размерами, невысокой скоростью и способностью совершать полёт на предельно малых высотах с огибанием рельефа местности. Это существенно затрудняет их обнаружение радиолокационными средствами. Очевидно, что надо что-то противопоставить дронам. В частности, имеет смысл попытаться их обнаруживать и отслеживать по звучанию двигателя.

Звуковая локация воздушных целей — это обнаружение летящих воздушных объектов и оценивание их координат и параметров движения по издаваемому ими звуку. Тема не новая, ей уже скоро исполнится 100 лет.


Тем не менее, автору не удалось найти систематизированного анализа технических возможностей звуковой локации, особенно применительно к дронам, которые в последнее десятилетие нашли широкое применение в военном деле. Данная статья в определённой мере должна заполнить этот пробел.

Звук двигателя дрона по сравнению с двигателем самолётов нельзя назвать громким. Даже высокочувствительный микрофон слышит его на дистанции не более нескольких километров. Ещё более чувствительные направленные микрофоны мы здесь не рассматриваем, поскольку их применение потребует вести обзор воздушного пространства по угловым координатам и существенно усложнит систему. То есть угломерный (пеленгационный) метод определения координат мы оставляем в стороне.

В пассивной радиолокации известен корреляционный разностно-дальномерный метод определения координат постановщика шумовых помех. Он основан на измерении разностей времени распространения сигнала до нескольких приёмных пунктов, разнесённых на местности. Эту разность для каждой пары приёмных пунктов измеряют с помощью взаимной корреляционной функции. Благодаря чисто случайному характеру принимаемых помеховых сигналов эта функция имеет единственный пик в момент временной задержки, соответствующей разности хода сигналов. Что позволяет её измерить. Однако в случае звуковой локации сигнал имеет значительно более регулярную, почти периодическую, структуру, обусловленную работой двигателя воздушной цели. Поэтому взаимная корреляционная функция будет имеет много пиков с шагом периода работы двигателя. Например, при частоте тысячи оборотов в минуту пики корреляционной функции звука будут расположены с шагом в десятки миллисекунд, что соответствует в пространстве интервалу однозначности лишь несколько метров, в то время как нам нужны тысячи метров. Это исключает применение корреляционного разностно-дальномерного метода в звуковой локации воздушных целей.

В данной статье мы рассматриваем звуковую локацию по единственному параметру сигнала – его частоте, наблюдаемой в течение некоторого времени из одного пункта или моментальные замеры частоты, сделанные одновременно в нескольких пунктах, разнесённых на местности. Наш метод основан на использовании эффекта Доплера, благодаря которому наблюдаемая частота в разных замерах отличается. На основе этих отличий мы вычисляем координаты и вектор скорости воздушной цели.

При рассмотрении предмета мы делаем ряд упрощающих допущений и принимаем несколько ограничений, а именно:

• Воздушная цель (дрон) на наблюдаемом участке траектории движется прямолинейно с постоянной скоростью.
  
• Звук воздушного объекта распространяется одинаково во всех направлениях, имея одинаковый частотный спектр.
  
• Система обнаружения представляет собой группу пунктов, рассредоточенных на открытой местности, исключающей приём переотражённых звуков. Создающие помехи фоновые звуки практически отсутствуют.
  
• Каждый приёмный пункт имеет всенаправленный микрофон, устройство первичной обработки принимаемых звуковых сигналов, а также средства передачи данных потребителям информации. Приёмный пункт обрабатывает только звук путём анализа его частотного спектра.
  
• В спектре выделяют так называемую характерную частоту. Это может быть частота наиболее сильной гармоники (мода) или ширина спектра (средняя частота или медиана). Поэтому можно считать, что летящий объект издаёт монохроматический звук, частота которого в разных пунктах может быть разной из-за эффекта Доплера. При первичной обработке приёмный пункт оценивает эту частоту и только на основе наблюдения за ней оценивает остальные параметры воздушной цели.
  
• Мы рассматриваем случаи одиночного приёмного пункта и системы совместно работающих пунктов, которые слышат звук только одиночной воздушной цели.
  
• Пункты расположены так, что звук летящего воздушного объекта могут одновременно принимать несколько пунктов. Результаты первичной обработки они могут передавать на центральный пункт для совместной вторичной обработки с пренебрежимо малой задержкой.
  
• Одновременная работа по нескольким воздушным целям и измерение пеленгов и (или) других индивидуальных характеристик целей потребует отдельного рассмотрения. Это остаётся за рамками нашего анализа.
  

Заведомо известно, что дальность обнаружения звукового сигнала ограничена несколькими километрами. Поэтому, если требуется высокая точность, речь может идти об акустической локации в непосредственной близости от приёмных пунктов. С точки зрения тактики Войск ПВО это означает, что как средство целеуказания система звуковой локации может обслуживать лишь огневые средства ближнего радиуса действия. Желательно, чтобы точность определения координат и вектора скорости летящего дрона было достаточным, чтобы можно было навести на него средство поражения без дополнительного поиска. Таким средством может быть зенитный пулемёт или лазерная пушка, расположенные вблизи обороняемого объекта.

Как средство раннего обнаружения система звуковой локации может работать, если полоса приёмных пунктов имеет достаточно большую протяжённость и может быть расположена на значительном удалении от обороняемых объектов. Таких полос может быть несколько на разных рубежах, дополняя радиолокационные средства. Низкая стоимость акустических локаторов поможет осуществить этот замысел.

Возможности одиночного приёмного пункта

Для анализа рассмотрим схему на Фиг. 1. Это двумерный случай. Система координат выбрана так, чтобы траектория цели проходила параллельно оси y. Вектор скорости направлен в сторону уменьшения этой координаты. Приёмный пункт находится в начале координат. При дальнейшем изложении мы будем использовать прописные буквы дли обозначения искомых величин, а строчными – известные параметры.


В момент приёма звукового сигнала цель находилась в точке D с координатами (X, Y) и имела вектор скорости V(V_x, V_y). В момент, когда звук достигает приёмного пункта, цель пролетит некоторое расстояние и окажется в точке D'(X', Y'). Таким образом, координаты (X, Y) являются кажущимися, а (X', Y') – реальными. Скорость цели V(V_x, V_y) на всей траектории, в том числе в реальной точке D' мы считаем неизменной.

В случае пассивной радиолокации разница между точками D и D' обычно настолько мала, что ею пренебрегают. При звуковой локации из-за сравнительно низкой скорости распространения звука поправка необходима. В многопозиционном случае эти поправки для разных приёмных пунктов отличаются. В этом заключается одна из особенностей звуковой локации.

Мы хотим оценить параметры (X', Y', V_x, V_y) по принимаемому звуку с наблюдаемой частотой

f = F' + dF,

где F' - не известная нам характерная частота звука и dF - положительная или отрицательная поправка, или частота Доплера, которую нам тоже предстоит определить.

Последнюю можно вычислить по формуле:

dF = 2*Vr*F' / c,

где V_r - радиальная скорость цели относительно приёмного пункта,
c - скорость звука (около 340 м/с).

Например, для воздушной цели, летящей прямо в сторону приёмного пункта и при характерной частоте звука 170 Гц и скорости 50 м/с (как у самолёта Ан-2), получим:

dF = 2 * 50 * 170 / 340 = 50 Гц.

То есть частота воспринимаемого звука составит 220 Гц.

Поскольку характерная частота F' потребуется для промежуточных вычислений, мы будем вынуждены её тоже оценивать.


На Фиг. 2 показаны графики зависимости радиальной скорости (и пропорциональной ей доплеровской частоты) от положения воздушной цели в предположении, что она летит, как показано на Фиг. 1. То есть координата y убывает и, глядя на Фиг. 2, можно считать, что цель движется справа налево. Частота Доплера при этом монотонно убывает. Крутизна кривой на траверзе приёмного пункта зависит от курсового параметра цели x, т.е. её минимального расстояния от приёмного пункта. Показаны два графика для параметра 1 км и 4 км.

Не известная нам частота Доплера dF пропорциональна радиальной скорости цели Vr относительно приёмного пункта. Она «спрятана» внутри наблюдаемой частоты f принимаемого звукового сигнала. Частота f несёт информацию о всех интересующих нас параметрах воздушной цели.

g(f) = (X', Y', V_x, V_y, F'),

Где g(.) – функция, связывающая эти переменные.

Таким образом, измеряя всего один параметр f, в двумерном случае мы хотим оценить пять неизвестных. (В трёхмерном случае неизвестных будет семь, поскольку добавятся Z и V_z).

Для решения этой задачи приходится измерять частоту f не менее чем в пяти точках траектории, полагаясь на то, что благодаря эффекту Доплера в изменении f проявятся параметры воздушной цели. Кривая на Фиг. 2 показывает, что изменения частоты Доплера сильнее проявляются, когда воздушная цель пролетает вблизи курсового параметра. Это указывает на то, что в присутствии ошибок измерения частоты на больших расстояниях эффект Доплера может быть слишком сильно искажён этими ошибками. Наилучшую точность следует ожидать, когда цель пролетает над нашей головой.

Расчётные формулы и уравнения[/h3]
Здесь речь идёт о выражениях, связывающих значения искомых переменных с наблюдаемой частотой звука.

Пусть i-й приёмный пункт расположен не в начале координат, а в точке O_i, координаты x_i, y_i которой известны (i = 0, 1, ... , n-1). Наши формулы работают для как для однопозиционного, так и многопозиционного случаев. Разница лишь в том, что во втором случае измерения делают одновременно, а в первом – в различные моменты времени и точка Oi не зависит от индекса i, который равен нулю.

Курс цели – произвольный с постоянным вектором скорости V (V_x, V_y). В однопозиционном случае истинные координаты цели изменяются по линейному закону:

X'_i = X₀ + V_x* i * tau, (1)

Y'_i = Y₀ + V_y* i * tau, (2)

где tau - интервал времени между измерениями.

Поскольку в многопозиционном случае воздушная цель наблюдается всеми пунктами одновременно, истинные координаты цели не зависят от индекса i. Все остальные математические выражения для обоих случаев одинаковы.

Пусть кажущееся положение цели – точка D_i (X_i, Y_i); в общем случае оно различное для каждого измерения как при однопозиционной локации, так и для многопозиционной. Дистанция до этой точки определяется формулой:


Входящие в неё кажущиеся координаты X_i, Y_i нам ещё предстоит определить.

Пользуясь схемой на Фиг. 1, замечаем, что радиальная скорость – это проекция вектора скорости на радиус-вектор цели OiDi. Используя скалярное произведение векторов, можно получить выражение для радиальной скорости Vri при i-м измерении:


Знаменатель – длина радиус-вектора цели O_iD_i, числитель – скалярное произведение этого вектора и вектора скорости V (V_x, V_y). Последняя одинакова для всех измерений. Её мы находим, используя измеренную частоту f_i:

f_i = F' + dF_i, (5)

где F' - характерная частота звука и dF_i - частота Доплера при i-м измерении.

Последнюю можно вычислить по формуле:

dF_i = 2 * V_ri * F' / c, (6)

Где c - скорость звука.

Зная скорость распространения звука, мы найдём время запаздывания

dt_i = d_i / c. (7)

Это позволит экстраполировать кажущееся положение цели до истинного и найти реальные координаты цели:

D'(X', Y') = D_i (X_i, Yi) + V (V_x, V_y) * dti. (8)

Последнее выражение векторное и содержит два скалярных уравнения.

Внимательный читатель мог заметить, что в приведённых уравнениях присутствуют кажущиеся координаты X_i, Y_i. Зная d_i, dtⁱ, их определяют при решении системы уравнений.

Таким образом, для каждого из n измерений частоты звука f₀, f₁, ... , f_n-1 имеем совокупность формул (1)-(8), задающих нам функцию g_i(f_i) = (X', Y', V_x, V_y, d_i, dt_i, F') для i-го измерения. Все эти n совокупностей образуют систему уравнений, которую следует решить относительно неизвестных переменных (X', Y', V_x, V_y, d_i, dt_i, F').

Поскольку в однопозиционном случае измерения делают в известные, но различные, моменты времени, каждая из переменные X' и Y' будет представлена набором n значений, соответствующих этим моментам времени. При этом мы оцениваем значения координат только для последнего момента времени. Поэтому в систему уравнений будут входить уравнения движения наблюдаемой воздушной цели (1), (2). В многопозиционном случае этих формул не будет.

Уравнения (3) и (4), однако, нелинейные и система уравнений навряд ли поддаются аналитическому решению. Это вынуждает нас использовать численные методы. Здесь потребуется больше искусство прикладного математика, чем сама математическая теория. Автор оставляет демонстрацию этого искусства самому читателю.

Особенности многопозиционной системы по сравнению с однопозиционной

Однопозиционная система пассивной звуковой локации хороша своей предельной простотой. Приёмный пункт должен содержать лишь всенаправленный чувствительный микрофон, несложные электронные устройства для усиления принимаемого сигнала, анализа его спектра, вычисления координат цели по результатам наблюдения в течение некоторого промежутка времени (от единиц до десятков секунд) и передачи оценок координат и скорости потребителю.

Недостатком однопозиционной системы является допущение о прямолинейном равномерном движении цели. В случае совершения ею манёвра точность результатов расчётов может сильно снизиться. Если за время наблюдения в зоне обнаружения появится другая аналогичная воздушная цель, летящая с близкой скоростью, это может внести путаницу в расчёты.

Ценой усложнения системы локации можно избавиться от недостатков однопозиционной системы частично или полностью. Мы размениваем сокращение времени на увеличение пространственных размеров.

В случае многопозиционной системы работают те же математические формулы. Разница лишь в том, что для каждого измерения частоты звука координаты приёмного пункта x_i, y_i будут свои (i = 0, 1, ... , n-1). Также при выполнении вычислений следует иметь в виду, что при одновременном приёме звукового сигнала в каждом пункте кажущиеся положения цели будут соответствовать различным моментам времени (Фиг. 3). При вычислении истинных координат это учитывает формула (8). При правильных расчётах экстраполированные кажущиеся положения цели должны совпасть в истинной точке D'(X', Y').


Однопозиционный случай отличается лишь тем, что для каждого наблюдения экстраполяцию кажущихся координат к истинной точке, соответствующей моменту последнего, (n-1)-го, наблюдения, выполняют по формуле, учитывающей неодновременность наблюдений.

Очевидным преимуществом многопозиционного метода является то, что полный набор характеристик воздушной цели определяют практически мгновенно. «Практически» – потому, что при первичной обработке требуется какое-то время для измерения спектра звукового сигнала и определения его характерной частоты. То есть не совсем мгновенно. Чем ниже частота звука, тем больше времени требуется для оценивания его спектра. Практически это продолжительность 20-50 периодов колебаний самого нижнего тона. То есть для частоты 50 Гц мы тратим до одной секунды на определение характерной частоты. Эту задержку следует учесть при вычислении времени запаздывания, входящего в формулу (8).

Ещё одним преимуществом является то, что наше допущение о прямолинейном равномерном движении цели несколько ослабляется. Цель должна сохранять постоянный вектор скорости лишь в течение времени измерения спектра звука всеми приёмными пунктами. То есть возможна работа по умеренно маневрирующим целям.

Недостатком многопозиционной системы является то, что нам потребуется иметь несколько приёмных пунктов, которые могли бы одновременно уверенно принимать звук, создаваемый воздушной целью. Также на конфигурацию группировки приёмных пунктов при минимальном их количестве накладывает ограничения существование слепых зон. Это положения воздушной цели, когда она близка к прямой, соединяющей пару приёмных пунктов и находится относительно них по одну сторону. Поскольку в этих пунктах частота Доплера будет одинаковой, система наших уравнений не будет иметь однозначного решения.

Интересным обобщением может быть случай, когда часть приёмных пунктов работает в однопозиционном режиме, а часть – в разнесённой системе и результаты их измерений объединяют. Это может быть полезно, когда воздушная цель не наблюдается всеми пунктами одновременно.

Возможный подход к решению задачи акустической локации[/h3]
Сразу оговоримся, что готового метода решения системы уравнений пассивной звуковой локации у автора пока нет. В этой части изложены лишь основные идеи.

Уравнения (1)-(8) позволяют по заданной конфигурации приёмных пунктов и параметрам траектории воздушной цели и истинной частоты её звука рассчитать ожидаемые значения частоты принимаемого звукового сигнала в каждом приёмном пункте.

Ниже приведен пример для шести приёмных пунктов, расположенных равномерно по окружности радиусом 2000 метров. Координаты цели и вектора скорости и характерная частота звука в момент измерения указаны над таблицей. Каждая её строка соответствует одному приёмному пункту. В таблице приведены координаты приёмных пунктов, расстояния до кажущихся положений цели, её радиальные скорости относительно этих пунктов, частоты Доплера и наблюдаемые частоты звука.


Такие вычисления сделать несложно и их можно использовать для генерации данных с целью тестирования программы решения задачи локации по наблюдаемому звуку. То есть решения задачи, обратной генерации данных вроде показанных в таблице. Однако разработка такого алгоритма представляет собой нетривиальную задачу. Ниже изложен возможный подход к её решению.

Решение можно искать методом «грубой силы» путём перебора различных допустимых комбинаций искомых параметров X', Y', V_x, V_y, d_i, dt_i, F' и в качестве решения выбрать комбинацию, наилучшим образом удовлетворяющую ограничениям, накладываемым формулами (1)-(8). Обратите внимание, что при наличии n приёмных пунктов неизвестных независимых переменных будет 2*n + 5. То есть, например, при n = 5 поиск решения предстоит вести в 15-мерном пространстве. Критерием может быть среднеквадратическое отклонение наблюдаемых частот звука от частот, вычисленным по формулам (1)-(8). Однако такой простой метод поиска решения потребует слишком большого числа пробных вычислений.

Область допустимых значений неизвестных параметров можно значительно сократить, если использовать две группы дополнительных ограничений, вытекающих из особенностей рассматриваемой задачи.

Первая группа: все n кажущихся координат цели и её реальное положение должны лежать на одной прямой. Это порождает 2*n линейных уравнений.

Вторая группа: векторы скорости цели, построенные по векторам радиальных скоростей относительно каждой пары приёмных пунктов, должны быть равны. Например, на Фиг. 3 пара векторов V_ri и V_rj позволяют вычислить вектор скорости цели Vij. (Нижние индексы указывают номера приёмных пунктов). Таких пар имеется N = n*(n-1)/2. Это порождает ещё N*(N - 1)/2 линейных уравнений. При n = 5 имеем 10 пар и 45 уравнений.

Эта совокупность ограничений существенно ускоряет поиск, позволяя легко отсеивать негодные пробные наборы значений неизвестных переменных и даже вести направленный поиск решения.

Такой класс задач в прикладной математике называется Задачами удовлетворения ограничений. Эта область уже была сравнительно глубоко исследована и даже существуют пакеты прикладных программ для языков Python и Java для их решения. Читателю осталось научиться пользоваться этими пакетами и представить ограничения в требуемой форме.

Впрочем, уместно предупредить от поспешных шагов. В нашем случае измерения частоты будут неточными из-за воздействия помех. Поэтому некоторые уравнение не будут соблюдены одновременно и решение задачи не будет сходиться полностью. Например, не все векторы скорости будут абсолютно идентичными и расчётные значения частот не будут все точно равны измеренным. Таким образом мы придём к Задаче удовлетворения размытых ограничений. Заинтересованному читателю предлагаем самостоятельно разобраться в методах решения этого класса задач.

Заключение

Мы рассмотрели лишь основные математические отношения между измеряемой частотой звукового сигнала и координатами и параметрами движения источника звука. Для выработки практических рекомендаций две группы вопросов остаются нерешёнными: технические и тактические.

Технические вопросы включают выбор метода решения системы уравнений, а также пути дальнейшего совершенствования предложенной математической модели. В частности, вместо дискретного метода в однопозиционном случае напрашивается использование уравнений с непрерывным временем и применение методов нелинейной фильтрации. Также необходимо проанализировать влияние ряда факторов на точность оценивания координат и вектора скорости и выработать соответствующие рекомендации. Поскольку вся игра ведётся в отношении частоты Доплера, следует учесть, что точность будет зависеть от кривизны кривой на Фиг. 2. Чем сильнее кривизна, тем выше будет точность. Это влияет на выбор моментов времени для измерений. Выбор характерной частоты принимаемого звука тоже остаётся открытым вопросом. Хотелось бы, чтобы точность акустического пассивного локатора позволяла выдавать целеуказание огневым средствам ПВО ближнего действия, которые могли бы немедленно открывать огонь на поражение без поиска цели.

Сложными техническими вопросами, которые ещё предстоит исследовать, являются многолучевое распространение звуковых волн, работа одновременно по нескольким воздушным целям и совместное использование акустических и других методов локации. Это накладывает ограничения на тактические возможности описанного нами метода локации.

Тактические вопросы касаются исследования вариантов построения системы акустической локации на нижнем уровне системы ПВО и способов её боевого применения. Их решение зависит от решения технические вопросов. Среди этого – выбор конфигурации многопозиционной группировки приёмных пунктов. В случае, когда воздушная цель находится на слишком большой дальности по сравнению с радиусом группировки, частоты звука, принимаемые разными пунктами, будут иметь близкие значение и разница между ними может потеряться в шумах измерения. Поэтому при слишком плотной группировке решение системы уравнений может привести к слишком большим ошибкам.

Коварный противник может прислать нам очень медленно летящий воздушный шар, на котором установлен достаточно мощный источник звука. Наблюдаемая частота этого звука из-за малой скорости источника будет во всех приёмных пунктах практически одинаковой. В этих условиях описанные выше методы локации работать не будут. Также противник может преднамеренно модулировать частоту оборотов двигателя на борту дрона таким образом, чтобы затруднить локацию по частоте звука. Эти проблемы требуют отдельного рассмотрения.

Таким образом, осталось немало интересных вопросов для дальнейшего исследования.